片持ち梁のばね定数は？3EI/L³の公式と計算例・集中荷重との関係

この記事の要点

片持ち梁のばね定数は制振設計や振動解析で必要になります。「ばね定数が大きいほど変形しにくい」という感覚と、3EI/L³という式の導出が結びつくと応用がしやすくなります。

この記事では、片持ち梁のばね定数の公式と計算例、たわみとの関係を解説します。

Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lは片持ち梁の長さです。

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片持ち梁のばね定数は3EI/L^3で算定できます。

Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lは片持ち梁の長さです。

また、ばね定数は力と変形の関係から計算できます。

ばね定数＝力÷変形です。

今回は片持ち梁のばね定数の値、計算と公式、集中荷重との関係について説明します。

片持ち梁の固有振動数、片持ち梁の詳細は下記が参考になります。

片持ち梁の固有振動数は？3分でわかる計算、公式、ばね定数、計算例

片持ち梁とは？固定端・自由端・曲げモーメント・たわみをわかりやすく解説

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片持ち梁のばね定数は？計算と公式

片持ち梁のばね定数kは下式で算定します。下式は先端に集中荷重が作用する片持ち梁を想定した公式です。

片持ち梁のばね定数は？計算と公式

Eは梁のヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lは梁の長さです。下図に想定する片持ち梁を示しました。

片持ち梁のばね定数

上記の公式を誘導します。さて、ばね定数と力・変形の関係は下記のように表します。

力＝ばね定数×変形

つまり、ばね定数＝力÷変形で算定できます。※ばね定数の詳細は下記が参考になります。

ばね定数とは？公式k=F/δ・ヤング率との関係と構造解析（バネモデル）での使い方

力をP、変形δ、ばね定数をkとすると、

P=kδ

です。一方、先端集中荷重が作用する片持ち梁のたわみは下式で算定します。

片持ち梁のばね定数2

片持ち梁のたわみの公式は下記をご覧ください。

片持ち梁のたわみを求める方法

上式をP=〇δの形になるよう変形します。

片持ち梁のばね定数3

よってばね定数kは、

片持ち梁のばね定数4

です。

片持ち梁のばね定数と集中荷重の関係

前述した片持ち梁のばね定数は、先端に集中荷重が作用する場合です。下図のように分布荷重が作用する片持ち梁は、ばね定数の公式が変わります。

片持ち梁のばね定数と集中荷重

片持ち梁のたわみが変わるからですね。その他、三角形分布荷重の作用する場合など色々なケースがあります。色々な片持ち梁のたわみの公式を勉強しましょう。下記が参考になります。

たわみ（撓み）とは？意味・求め方・公式・単位・記号をわかりやすく解説

混同しやすい用語

ばね定数

力と変形の比（k＝力÷変形）で表した部材の剛性指標。

片持ち梁の先端集中荷重の場合はk＝3EI/L3で算定される。

断面二次モーメント（I）

断面の曲げに対する抵抗力を表す断面性能。

ばね定数の計算に用いられ、値が大きいほど部材は変形しにくい（剛性が高い）。

ヤング係数（E）

材料の弾性変形のしやすさを表す係数（応力÷ひずみ）。

断面二次モーメントとともに片持ち梁のばね定数・たわみの計算に使われる。

片持ち梁のばね定数を整理した表を示します。

項目	内容	備考
ばね定数の公式	k＝3EI/L3	先端集中荷重の場合
ヤング係数（E）	材料の弾性変形のしやすさを示す係数	鋼材：205kN/mm2
断面二次モーメント（I）	断面の曲げに対する抵抗力を示す値	断面形状によって異なる