片持ち梁の固有振動数は？3分でわかる計算、公式、ばね定数、計算例
この記事の要点
片持ち梁の固有振動数は、片持ち梁の固有周期の逆数です。
固有周期は片持ち梁の剛性、外力の大きさ（梁の重さ）などが関係します。
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片持ち梁の固有振動数は、片持ち梁の固有周期の逆数です。固有周期は片持ち梁の剛性、外力の大きさ（梁の重さ）などが関係します。なお片持ち梁の剛性ｋ＝3EI/L^3です。Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lは片持ち梁の長さです。今回は片持ち梁の固有振動数の計算と公式、ばね定数、計算例について説明します。固有振動数、固有周期の詳細は下記が参考になります。
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片持ち梁の固有振動数は？計算と公式、ばね定数
片持ち梁の固有振動数を計算するには、まず片持ち梁の固有周期を算定します。固有振動数は、固有周期の逆数なので簡単に算定できます。固有周期の詳細は下記が参考になります。
片持ち梁の固有振動数を計算する公式を下記に示します。
fは固有振動数、mは梁先端に作用する質量(kg)、kは片持ち梁の剛性(N/m)、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントです。
上式のように片持ち梁の固有振動数の計算は「片持ち梁の剛性」が重要な値です。固有振動数自体の計算は他の梁と変わりません。固有振動数の公式、導き方は下記が参考になります。
下図をみてください。梁の長さLで先端に荷重Pが作用する片持ち梁があります。片持ち梁の梁としての重さは0、断面二次モーメントをIとします。
このとき片持ち梁のたわみδは下式で計算します。
さて、荷重Pと変形δの関係は弾性領域まではP=kδという関係でした。kは剛性です。前述した、たわみδの式を変形します。
P=kδなので剛性k=3EI/L^3です。なおkをばね定数ともいいます。ばね定数の意味、片持ち梁のばね定数は下記が参考になります。
ばね定数とは？1分でわかる意味、公式、ヤング率、単位、求め方
ばね定数とは？1分でわかる意味、公式、ヤング率、単位、求め方
また片持ち梁の幅がb、高さ（せい）がhのとき断面二次モーメントI=bh^3/12です。よって剛性kは
です。
片持ち梁の固有振動数の計算例
実際に片持ち梁の固有振動数を計算しましょう。下図の片持ち梁で先端荷重P=50kN、梁の材質を鋼、断面二次モーメントI=1810cm^4、L=3000mmとします。※なお重力加速度＝10m/s^2とし、梁の重さは無視します。
固有振動数を求める公式は下記の通りです。
まずは剛性kを算定しましょう。単位はN/mとなるよう整理してください。
次に質量ｍを算定します。ｍの単位はkgです。荷重P=50kNなので
ｍ＝50×1000÷10＝5000kg
です。よって固有振動数は
です。
混同しやすい用語
固有振動数（f）
構造物が自由振動するときの振動回数（Hz：1秒あたりの往復回数）のこと。固有周期の逆数で、f＝1/Tで求められる。
固有周期（T）
構造物が1回振動するのに要する時間（秒）のこと。固有振動数の逆数であり、T＝2π√(m/k)で算定する。
ばね定数（剛性k）
力と変形の比（k＝力÷変形）で表す部材の剛性。片持ち梁ではk＝3EI/L³で、固有周期・固有振動数の算定に用いる基本値。
まとめ
今回は片持ち梁の固有振動数について説明しました。計算と公式は難しくありません。片持ち梁のたわみの式を思い出せば大丈夫です。まずは固有振動数の公式も理解しましょう。下記も併せて勉強しましょうね。
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意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
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