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片持ち梁の固有振動数は？3分でわかる計算、公式、ばね定数、計算例

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片持ち梁の固有振動数は、片持ち梁の固有周期の逆数です。固有周期は片持ち梁の剛性、外力の大きさ（梁の重さ）などが関係します。なお片持ち梁の剛性ｋ＝3EI/L^3です。Eはヤング係数、Iは断面二次モーメント、Lは片持ち梁の長さです。今回は片持ち梁の固有振動数の計算と公式、ばね定数、計算例について説明します。固有振動数、固有周期の詳細は下記が参考になります。

固有振動数とは？1分でわかる意味、読み方、計算、公式、単位

固有周期の基礎知識と、3分でわかる計算方法

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片持ち梁の固有振動数は？計算と公式、ばね定数

片持ち梁の固有振動数を計算するには、まず片持ち梁の固有周期を算定します。固有振動数は、固有周期の逆数なので簡単に算定できます。固有周期の詳細は下記が参考になります。

固有周期の基礎知識と、3分でわかる計算方法

片持ち梁の固有振動数を計算する公式を下記に示します。

fは固有振動数、mは梁先端に作用する質量(kg)、kは片持ち梁の剛性(N/m)、Eはヤング係数、Iは断面二次モーメントです。

上式のように片持ち梁の固有振動数の計算は「片持ち梁の剛性」が重要な値です。固有振動数自体の計算は他の梁と変わりません。固有振動数の公式、導き方は下記が参考になります。

固有振動数とは？1分でわかる意味、読み方、計算、公式、単位

下図をみてください。梁の長さLで先端に荷重Pが作用する片持ち梁があります。片持ち梁の梁としての重さは0、断面二次モーメントをIとします。

このとき片持ち梁のたわみδは下式で計算します。

さて、荷重Pと変形δの関係は弾性領域まではP=kδという関係でした。kは剛性です。前述した、たわみδの式を変形します。

P=kδなので剛性k=3EI/L^3です。なおkをばね定数ともいいます。ばね定数の意味、片持ち梁のばね定数は下記が参考になります。

ばね定数とは？1分でわかる意味、公式、ヤング率、単位、求め方

ばね定数とは？1分でわかる意味、公式、ヤング率、単位、求め方

また片持ち梁の幅がb、高さ（せい）がhのとき断面二次モーメントI=bh^3/12です。よって剛性kは

です。

片持ち梁の固有振動数の計算例

実際に片持ち梁の固有振動数を計算しましょう。下図の片持ち梁で先端荷重P=50kN、梁の材質を鋼、断面二次モーメントI=1810cm^4、L=3000mmとします。※なお重力加速度＝10m/s^2とし、梁の重さは無視します。

固有振動数を求める公式は下記の通りです。

まずは剛性kを算定しましょう。単位はN/mとなるよう整理してください。

次に質量ｍを算定します。ｍの単位はkgです。荷重P=50kNなので

ｍ＝50×1000÷10＝5000kg

です。よって固有振動数は

です。

まとめ

今回は片持ち梁の固有振動数について説明しました。計算と公式は難しくありません。片持ち梁のたわみの式を思い出せば大丈夫です。まずは固有振動数の公式も理解しましょう。下記も併せて勉強しましょうね。

固有振動数とは？1分でわかる意味、読み方、計算、公式、単位

固有周期の基礎知識と、3分でわかる計算方法

片持ち梁のたわみを求める方法

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• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


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