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たわみの公式まとめ｜単純梁・片持ち梁の種類と覚え方をわかりやすく解説

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たわみの公式は、ややこしくて覚えにくいと思われがちです。実際は違います。コツさえつかめば、簡単に公式を覚えることができます。

今回は、たわみの公式の種類、覚え方、単位について説明します。なお、たわみの公式の導出については下記の記事で詳細に説明しています。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

たわみの公式の種類と一覧

たわみの公式の種類と一覧を下記に整理しました。

・中央集中荷重　単純梁

・等分布荷重　単純梁

・先端集中荷重　片持ち梁

・等分布荷重　片持ち梁

上記の4つが基本です。必ず覚えてくださいね。余裕がある方は、下記の公式も挑戦してみましょう。

・中央集中荷重　両端固定

・等分布荷重　両端固定

・中央集中荷重　片側ピン片側固定

・等分布荷重　片側ピン片側固定

・三角形分布荷重　単純梁

・三角形分布荷重　片持ち梁

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たわみの公式の覚え方

たわみの公式は、一見複雑そうに見えます。丸暗記をしようと思っても大変ですね。そこで、下記のポイントを覚えてください。

• 集中荷重が作用するとき　　⇒　PL³／ＥＩ
• 等分布荷重が作用するとき　⇒　wL⁴／ＥＩ

集中荷重、等分布荷重の違いで、たわみを求める式が変わります。集中荷重作用時は、集中荷重×スパンの3乗です。

等分布荷重作用時は、等分布荷重×スパンの4乗となります。分母の「1／ＥＩ」は全てのたわみ値で共通なので、覚え直す必要は無いです。

よって、下記の数値のみ覚えれば良いです。

• 中央集中荷重　単純梁　　⇒　1／48
• 等分布荷重　単純梁　　　⇒　5／384
• 先端集中荷重　片持ち梁　⇒　1／3
• 等分布荷重　片持ち梁　⇒　1／8

上記の数値は、公式の導出法を理解するか、丸暗記するしか無いでしょう。

ただ、丸暗記をするだけでなく問題を解きながら吸収してください。公式を眺めるより、手を動かした方が覚えやすいですよ。

私は構造設計の仕事をしていましたが、毎日使うので自然と暗記できていました。

ただ、上記の4つを覚えておけば、似た条件のたわみは想定しやすいです。例えば、「等分布荷重　両端固定梁」のたわみは、

δ＝wL⁴／384ＥＩ

です。「等分布荷重　両端ピン」が5wL^4／384ＥＩだと覚えておけば、「両端固定だから、両端ピンよりも、たわみは小さいはず」と想定できます。

等分布荷重作用時は、等分布荷重×スパンの4乗となります。分母の「1／ＥＩ」は全てのたわみ値で共通なので、覚え直す必要は無いです。

よって、下記の数値のみ覚えれば良いです。

• 中央集中荷重　単純梁　　⇒　1／48
• 等分布荷重　単純梁　　　⇒　5／384
• 先端集中荷重　片持ち梁　⇒　1／3
• 等分布荷重　片持ち梁　⇒　1／8

上記の数値は、公式の導出法を理解するか、丸暗記するしか無いでしょう。

ただ、丸暗記をするだけでなく問題を解きながら吸収してください。公式を眺めるより、手を動かした方が覚えやすいですよ。

私は構造設計の仕事をしていましたが、毎日使うので自然と暗記できていました。

ただ、上記の4つを覚えておけば、似た条件のたわみは想定しやすいです。例えば、「等分布荷重　両端固定梁」のたわみは、

δ＝wL⁴／384ＥＩ

です。「等分布荷重　両端ピン」が5wL^4／384ＥＩだと覚えておけば、「両端固定だから、両端ピンよりも、たわみは小さいはず」と想定できます。

たわみの単位

たわみの単位は

mm

cm

です。たわみ値はスパンに対して小さいので、mmやcmが一般的です。mを使うことは無いです。

たわみの公式の導出法

たわみの公式は、微分方程式を解いて求めます。少し数学の知識が必要です。下記の記事で詳しく説明しています。

梁のたわみを求める方法｜単純梁・片持ち梁の公式と計算手順

たわみの公式を整理した表を示します。

梁の種類	荷重条件	最大たわみの公式
単純梁	中央集中荷重P	δ＝PL3/48EI
単純梁	等分布荷重w	δ＝5wL⁴/384EI
片持ち梁	先端集中荷重P	δ＝PL3/3EI

たわみ公式の選び方と計算例

最もよく使う公式は単純梁・中央集中荷重のδ＝PL3/48EIと単純梁・等分布荷重のδ＝5wL⁴/384EIです。

スパン6m・H-300×150の梁（I≒7,210cm⁴）に中央集中荷重30kNが作用する場合、E＝205,000N/mm2を使うとδ≒8.5mmです。

建築基準法でのたわみ制限はスパンの1/250が目安です。

スパン6mの場合24mmが上限で、計算値8.5mmは制限内に収まります。

片持ち梁のδ＝PL3/3EIは単純梁の16倍のたわみになるため、同じ荷重・スパンでも構造形式によって大きく変わります。

公式を確認しておきましょう。

まとめ

今回は、たわみの公式について説明しました。たわみの公式はローマ字の記号が多くて覚えにくいですよね。

まず分母のＥＩは、たわみの計算全てに共通する値です。１つ暗記すれば、すぐ思い出せますね。あとは集中荷重、等分布荷重による違いを理解してくださいね。

余裕のある方は、公式の導出法も勉強しましょう。

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プロフィール

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• 名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
• 2010年　弊サイトを開設
• 2010～2017年　国立大学大学院修了
• 2017年12月に当HPが書籍化。
• 「わかる構造力学」
• 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
• 「わかる構造力学(改訂版)」


• 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。


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