異方性材料の構成式
この記事の要点
異方性材料の応力-ひずみ関係は弾性定数テンソルCijklで表され、応力・ひずみ両方の対称性から独立成分は81個から36個に減少する。
等方性材料の独立弾性定数がヤング率Eとポアソン比νの2つであるのに対し、最も一般的な異方性材料では歪エネルギ密度関数の対称性をさらに考慮しても21個の弾性定数が必要となる。
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構成式は、材料の特性を数学的に表したものです。ここでは、弾性体の構成式について求めましょう。また、弾性体の構成式では基本的に線形弾性理論から導いています。
※線形弾性理論とは？…応力－ひずみ関係が線形であるもの、幾何学的な線形性も前提とした理論。
まず、フックの法則から応力ひずみ関係は次のように表すことができます。
さらに、マトリクス表示に書き換えます。フックの法則で示したテンソルの対応関係から添字は簡単にわかりますね。それぞれの成分を書き出すと…
と表すことができます。
は皆さん良く知っている｢弾性定数｣ですよね。今まで、2次元で問題を解いていましたが本来、3次元の問題を考えると、こんなに成分があったんですね。
さて、弾性定数は81個の成分があることが確認できましたが、応力-ひずみ関係の対称性は、
でした。以上の関係を用いると、弾性定数にも対称性が存在することがわかりますね。
です。よって、対称性を考慮すると、弾性定数は36個の成分が独立（固有の値）であることがわかります。
さて、被っている弾性定数、ついでに応力や歪は赤線で潰していきます。
となりますね。わかりにくいので、独立な弾性定数等は赤枠で囲みます。
少し、分かりやすくなりました。この赤枠で示した成分が独立な弾性定数です。
さらに、歪エネルギ密度関数Uoについて考慮します。
※歪エネルギ密度関数については後述しますので、こういう式があると思ってスル―してください。
が存在し、応力が
であるとします。すると、応力は
です。擬標をなので、ij=st,kl=stとして偏微分すれば、
ですね。さらに、ij=klと置き換えると
となります。また、
の式をij=stとすれば
となります。よって、ここでも弾性定数の対称性を導くことができました。この歪エネルギ密度関数から求めた弾性定数の対称性を考慮すると、
となりますね。わかりにくいので、独立な弾性定数は赤枠で囲みます。
この赤枠で示した成分が21個の独立な弾性定数です。
以上のように示した式は、最も一般的な異方性材料でも21個の弾性定数が存在することを表しています。21個の弾性定数を持つ材料があっても建築材料では到底、利用できませんよね。
さて、赤枠で囲った独立な成分を整理して、一般的な異方性材料の応力-ひずみ関係を表すと…
となります。
混同しやすい用語
等方性材料 vs 異方性材料
等方性材料は方向によらず同じ弾性定数を持ち、独立な弾性定数はヤング率Eとポアソン比νの2つである。
異方性材料に対して方向により弾性定数が異なり、最も一般的な場合には21個の独立な弾性定数が必要となる。
弾性定数の対称性（応力・ひずみ対称性） vs 歪エネルギ密度関数による対称性
応力テンソルとひずみテンソルの対称性（σij=σji、εij=εji）から弾性定数Cijklの独立成分は81個から36個に減少する。
歪エネルギ密度関数Uoを考慮した対称性（Cijkl=Cklij）に対して独立成分はさらに36個から21個に減少する。
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理解度チェック
構成式とは何ですか？異方性材料の弾性定数はいくつ必要ですか？
答えを見る
構成式は材料の特性を数学的に表したものです。異方性材料の応力-ひずみ関係は弾性定数テンソルCijklで表され、最も一般的な場合には21個の独立な弾性定数が必要となります。
弾性定数の独立成分は81→36→21個とどのように減りますか？
答えを見る
3次元では弾性定数Cijklは81個の成分がありますが、応力・ひずみテンソルの対称性（σij＝σji、εij＝εji）により36個に減り、さらに歪エネルギ密度関数の対称性（Cijkl＝Cklij）により21個に減少します。
等方性材料と異方性材料の独立弾性定数の違いは？
答えを見る
等方性材料は方向によらず同じ弾性定数をもち、独立な弾性定数はヤング率Eとポアソン比νの2つです。異方性材料は方向により弾性定数が異なり、最も一般的な場合は21個の独立な弾性定数が必要です。
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プロフィール
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- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
- 「わかる構造力学(改訂版)」
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