異方性材料の構成式
この記事の要点
異方性材料の応力-ひずみ関係は弾性定数テンソルCijklで表され、応力・ひずみ両方の対称性から独立成分は81個から36個に減少する。
等方性材料の独立弾性定数がヤング率Eとポアソン比νの2つであるのに対し、最も一般的な異方性材料では歪エネルギ密度関数の対称性をさらに考慮しても21個の弾性定数が必要となる。
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
構成式は、材料の特性を数学的に表したものです。ここでは、弾性体の構成式について求めましょう。また、弾性体の構成式では基本的に線形弾性理論から導いています。
※線形弾性理論とは？…応力－ひずみ関係が線形であるもの、幾何学的な線形性も前提とした理論。
まず、フックの法則から応力ひずみ関係は次のように表すことができます。
さらに、マトリクス表示に書き換えます。フックの法則で示したテンソルの対応関係から添字は簡単にわかりますね。それぞれの成分を書き出すと…
と表すことができます。
は皆さん良く知っている｢弾性定数｣ですよね。今まで、2次元で問題を解いていましたが本来、3次元の問題を考えると、こんなに成分があったんですね。
さて、弾性定数は81個の成分があることが確認できましたが、応力-ひずみ関係の対称性は、
でした。以上の関係を用いると、弾性定数にも対称性が存在することがわかりますね。
です。よって、対称性を考慮すると、弾性定数は36個の成分が独立（固有の値）であることがわかります。
さて、被っている弾性定数、ついでに応力や歪は赤線で潰していきます。
となりますね。わかりにくいので、独立な弾性定数等は赤枠で囲みます。
少し、分かりやすくなりました。この赤枠で示した成分が独立な弾性定数です。
さらに、歪エネルギ密度関数Uoについて考慮します。
※歪エネルギ密度関数については後述しますので、こういう式があると思ってスル―してください。
が存在し、応力が
であるとします。すると、応力は
です。擬標をなので、ij=st,kl=stとして偏微分すれば、
ですね。さらに、ij=klと置き換えると
となります。また、
の式をij=stとすれば
となります。よって、ここでも弾性定数の対称性を導くことができました。この歪エネルギ密度関数から求めた弾性定数の対称性を考慮すると、
となりますね。わかりにくいので、独立な弾性定数は赤枠で囲みます。
この赤枠で示した成分が21個の独立な弾性定数です。
以上のように示した式は、最も一般的な異方性材料でも21個の弾性定数が存在することを表しています。21個の弾性定数を持つ材料があっても建築材料では到底、利用できませんよね。
さて、赤枠で囲った独立な成分を整理して、一般的な異方性材料の応力-ひずみ関係を表すと…
となります。
混同しやすい用語
等方性材料 vs 異方性材料
等方性材料は方向によらず同じ弾性定数を持ち、独立な弾性定数はヤング率Eとポアソン比νの2つである。
異方性材料に対して方向により弾性定数が異なり、最も一般的な場合には21個の独立な弾性定数が必要となる。
弾性定数の対称性（応力・ひずみ対称性） vs 歪エネルギ密度関数による対称性
応力テンソルとひずみテンソルの対称性（σij=σji、εij=εji）から弾性定数Cijklの独立成分は81個から36個に減少する。
歪エネルギ密度関数Uoを考慮した対称性（Cijkl=Cklij）に対して独立成分はさらに36個から21個に減少する。
【管理人おすすめ！】セットで3割もお得！約1,100語の用語集＋476点の図解集セット⇒ 建築構造がわかる基礎用語集＆図解集セット
この記事の内容を○×クイズで確認する
この記事で学んだ内容は、無料の○×問題集でも確認できます。
意味を読んで終わりにせず、実際に理解できているかチェックしてみましょう。
▼用語の意味知らなくて大丈夫？▼
▼同じカテゴリの記事一覧▼
- 弾性材料とは？フックの法則（σ=Eε）・線形弾性体と弾性材料の分類
- 等方性材料と異方性材料
- 異方性材料の構成式
- 直交異方性材料の構成式とは｜応力とひずみの関係と弾性係数の導出を解説
- フックの法則の3次元拡張とは？材料力学からの導出と有限要素法への応用（弾性体の式）
- 総和規約（アインシュタインの縮約記法）とは？意味と構造解析での使い方
- 座標変換マトリクス
- 応力テンソルの座標変換｜変換行列による計算手順と主応力の関係
- クロネッカーのデルタとは｜弾性力学テンソル表記の演習問題で理解する
- テンソルとは
- 商法則
▼カテゴリ一覧▼
- 応力とひずみ(まずは、弾性と塑性の性質についてから)
- テンソルの計算(まずは、総和規約とはから)
- 弾性材料とは？フックの法則（σ=Eε）・線形弾性体と弾性材料の分類
- 応力テンソル(まずは、応力テンソルから)
- ひずみテンソル(まずは、変形とひずみの式から)
- 2次元問題(まずは、平面応力状態と平面ひずみ状態から)
- 平板理論(まずは、キルヒホッフの仮説とは何か？から)
▼他の勉強がしたい方はこちら▼
わかる1級建築士の計算問題解説書
わかる2級建築士の計算問題解説書！
【30%OFF】一級建築士対策も◎！構造がわかるお得な用語集
プロフィール
- 略歴▼
- 名前 ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
- 「わかる構造力学」
- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
- 「わかる構造力学(改訂版)」
- 10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。
- 当サイトの目的▼
- 建築学生が学ぶ「構造力学」の目的
- とりあえず10記事▼
- 初めましての方に10記事用意しました
- おすすめ書籍紹介▼
- 構造力学・建築構造のおすすめ本｜現役設計者が読んで良かった書籍を紹介
建築の本、紹介します。▼
同じカテゴリの記事一覧
- HOME > 材料力学の基礎 > 異方性材料の構成式
- 1級の過去問(計算)解説
- わかる建築構造の用語集・図解集
- 1頁10円！PDF版の学習記事
