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異方性材料の構成式

構成式は、材料の特性を数学的に表したものです。ここでは、弾性体の構成式について求めましょう。また、弾性体の構成式では基本的に線形弾性理論から導いています。
※線形弾性理論とは?…応力−ひずみ関係が線形であるもの、幾何学的な線形性も前提とした理論。

まず、フックの法則から応力ひずみ関係は次のように表すことができます。

さらに、マトリクス表示に書き換えます。フックの法則で示したテンソルの対応関係から添字は簡単にわかりますね。それぞれの成分を書き出すと…

と表すことができます。

は皆さん良く知っている「弾性定数」ですよね。今まで、2次元で問題を解いていましたが本来、3次元の問題を考えると、こんなに成分があったんですね。
さて、弾性定数は81個の成分があることが確認できましたが、応力-ひずみ関係の対称性は、

でした。以上の関係を用いると、弾性定数にも対称性が存在することがわかりますね。

です。よって、対称性を考慮すると、弾性定数は36個の成分が独立(固有の値)であることがわかります。
さて、被っている弾性定数、ついでに応力や歪は赤線で潰していきます。


となりますね。う〜ん、わかりにくいので、独立な弾性定数等は赤枠で囲みます。



少し、分かりやすくなりました。この赤枠で示した成分が独立な弾性定数です。

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さらに、歪エネルギ密度関数Uoについて考慮します。
※歪エネルギ密度関数については後述しますので、こういう式があると思ってスル―してください。

が存在し、応力が

であるとします。
すると、応力は

です。擬標をなので、ij=st,kl=stとして偏微分すれば、

ですね。
さらに、ij=klと置き換えると

となります。
また、

の式をij=stとすれば


となります。よって、ここでも弾性定数の対称性を導くことができました。この歪エネルギ密度関数から求めた弾性定数の対称性を考慮すると、

となりますね。う〜ん、わかりにくいので、独立な弾性定数は赤枠で囲みます。


この赤枠で示した成分が21個の独立な弾性定数です。以上のように示した式は、最も一般的な異方性材料でも21個の弾性定数が存在することを表しています。まあ、21個の弾性定数を持つ材料があっても建築材料では到底、利用できませんよね。さて、赤枠で囲った独立な成分を整理して、一般的な異方性材料の応力-ひずみ関係を表すと…

となります。

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