直交異方性材料の構成式とは｜応力とひずみの関係と弾性係数の導出を解説

この記事の要点

木材やCFRP（炭素繊維強化プラスチック）のような異方性材料を扱うとき、等方性材料の単純なフックの法則は使えない。

直交異方性の場合、繊維方向によって弾性係数が異なるため、構成式が行列で表される。

この記事では直交異方性材料の構成式の意味・等方性との違い・弾性係数行列の導出を解説する。

木材や一方向繊維強化材料に見られる直交異方性の構成式は、繊維方向・横断方向・面外方向それぞれに独立したヤング率・ポアソン比・せん断弾性係数を持つ。

この記事では、直交異方性材料の構成式とは何かを整理します。

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直交異方性材料の構成式は、3つの座標面に対称な材料の応力-ひずみ関係を表します。一般的な異方性材料の応力-ひずみ関係を表すと、

異方性材料の応力-ひずみ関係

でしたね。以上のように示した式は、最も一般的な異方性材料でも21個の弾性定数が存在することを表しています。21個の弾性定数を持つ材料があっても建築材料では到底、利用できませんよね。

しかし、建築部材にも異方性材料を用いているものがあります。それは｢木材｣です。木は繊維方向と繊維直交方向で弾性定数が異なるのです。

このような特性を持つ材料を｢直交異方性材料｣と呼びます。では、｢直交異方性材料｣の構成式を考えてみましょう。

まず、直交異方性の定義について数学的に考えます。

3つの座標面に関して性質が対称な材料を直交異方性材料と呼びます。つまり、3つの座標軸まわりに関して座標変換（回転）を行っても構成式は一致する必要がありますね。

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x3軸まわりに関して

x3まわりに180°回転した場合を考えます。座標変換マトリクスに関しては既に証明しました。式は以下のように

座標変換マトリクス

で表すことができます。

直交異方性材料は構成式が、それぞれの軸まわりの座標軸を180°回転させても一致することが条件でしたね。よって、テンソルの変換法則を利用して、それを確認しましょう。

テンソルの変換法則は当サイトで示しましたよね。一応、書いておくと4階テンソルの変換法則は次式でした。

以上の式を、弾性定数について適用させます。

ですね。さて、テンソルの変換法則から21個の弾性定数について、頑張って確認してみましょう。

まず、p=q=r=s=1とします。

右辺はijklそれぞれの添字に関して総和規約をとる必要があります。よって、

総和規約の計算

といったように、総和規約の計算を繰り返して変換した弾性定数を求めます。p=q=r=s=2,3の場合は計算過程が同じなので、結果も変化ありませんね。

次に、p=q=1,r=s=2とします。

右辺はijklそれぞれの添字に関して総和規約をとる必要があります。よって、

添字の総和規約

です。p=q=1,r=s=3、p=q=2,r=s=3の場合でも同様の計算過程なので省略します。

次に、p=q=1,r=1,s=2とします。

右辺はijklそれぞれの添字に関して総和規約をとる必要があります。よって、

です。次に、p=q=1,r=2,s=3とします。

右辺はijklそれぞれの添字に関して総和規約をとる必要があります。よって、

添字の総和規約4

です。

…といったような計算過程で残りの成分についても変換する必要があります。ただ、ちょっと疲れたので、後は各自で頑張ってください。

変換法則を計算しなくても簡単に判断する

実はいちいち総和規約の計算を行わなくても＋か－を判断する方法があります。先ほどの変換を計算していると、座標変換マトリクスから

簡単な計算方法

以外の値は0ですね。よって、どのみち、この3つの値しか残らないので、例えば

の変換であれば、添字と座標変換マトリクスの対応関係から、｢添字の数字｣

1→－1

2→－1

3→1

として、添字を座標変換マトリクスの成分として、そのまま掛けて計算します。

ですね。これが、変換後の値です。

さて、以上のような変換を21成分について行うと、式は以下のように示されます。

マトリクスの21成分

さらに、直交異方性材料の構成式を考えているので以上に示した構成式は、変換前の構成式と一致していなければなりません。－の値を持っている成分が、変換前の値と一致する値は0しかありません。よって、－の符号が付いている成分を全て0として、

直交異方性材料の構成式

となります。

x1軸まわりに関して

次に、x1軸まわりを180°回転した座標系について考えます。x1軸まわりの座標変換マトリクスは、

直交異方性材料の構成式2

です。以上の、変換マトリクスから－か＋の成分かを判断します。すると、

直交異方性材料の構成式3

ですね。また、x2軸まわりに関しては消去できる成分がないので省略します。よって、直交異方性材料の応力ひずみ関係は次式のように、

直交異方性材料の応力歪関係

となります。

混同しやすい用語

直交異方性材料 vs 等方性材料

直交異方性材料は互いに直交する3方向で異なる弾性定数（Ex、Ey、Ez、Gxy等）を持ち、独立弾性定数は9個となる。

等方性材料に対して直交異方性材料では構成式に方向依存性があるため、荷重方向と材料軸の関係が解析結果に大きく影響する。

直交異方性 vs 横等方性（半等方性）

直交異方性は3つの異なる対称軸方向をもつのに対し、横等方性は1つの特別軸方向とそれに垂直な面内では等方的な性質をもつ。

横等方性材料（一方向FRP等）に対して直交異方性は独立弾性定数が9個、横等方性は5個であり、材料のモデル化のレベルが異なる。

直交異方性材料の構成式を整理した表を示します。

項目	内容	備考
一般異方性の弾性定数数	最大21個	応力テンソルの対称性を考慮した値
直交異方性の弾性定数数	9個	3つの座標面の対称性を利用して削減
代表的な直交異方性材料	木材	繊維方向と直交方向で弾性係数が異なる