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一般化されたフックの法則と理論式の誘導

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今回は、応力と歪の関係について勉強しましょう。今回の記事は、「応力の平衡方程式」と「ひずみテンソル」を理解するとよりスムーズに読めます。

応力の平衡方程式

ひずみテンソル

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さて、ここでは3次元でのフックの法則を勉強します。もちろん、2次元での問題ならば皆さん暗記されていると思いますが、次元が拡張すると少し厄介です。まず、歪テンソルから次式を求めました。よって、ひずみと変位の関係は



でした。次に、x軸方向の軸ひずみを求めます。



ですね。また、x軸にx軸方向の応力が作用した場合、直応力はフックの法則から



です。ここで、ポアソン比を思い出してください。ポアソン比は次式のように、



で表すことができます。


※フックの法則、ポアソン比については、下記が参考になります。

フックの法則とは?1分でわかる意味、公式、単位、応力、ヤング率の関係

ポアソン比の基礎知識、縦弾性係数との関係


また、ポアソン比の値がマイナスとなっているのは、圧縮方向に変形している(縮んでいる)からですね。よって、y軸方向の軸ひずみは、



となります。x-z平面で考えると、同様に



ですね。よって、軸ひずみを纏めると、



となります。3方向(x,y,z)から、直応力が作用していれば重ね合わせの原理が作用するので、



です。


※重ね合わせの原理は、下記が参考になります。

重ね合わせの原理とは?1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ

y,z方向にも同様の式が成立するので、



ですね。さて、以上の式をそれぞれの直応力の形となるまで変形させます。



とりあえず、計算しやすいように変形して、



とします。次に、



の連立方程式を解くと、



です。また、



の連立方程式を解くと、



となります。式変形の方法は個人でやり方がありますが、例えば



の式にそれぞれを代入していくと



であるので、σxの形にすると、



となります。このとき、



をラメ定数と呼びます。さらに、y,zの応力に関しても同様のことが言えるので、整理すると、



です。以上の式関係を、一般化されたフックの法則と呼んでいます。3次元の物体では、外力が作用したとき、ポアソン効果によって、それぞれの軸に応力が働くので以上のような式となりますね。


上式は弾性力学で、かなり基本的なものです。今後、平板の応力-ひずみ関係を求めるときに必要となってきますし、しっかりと復習しておきましょう。

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