一般化されたフックの法則と理論式の誘導
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今回は、応力と歪の関係について勉強しましょう。今回の記事は、「応力の平衡方程式」と「ひずみテンソル」を理解するとよりスムーズに読めます。
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さて、ここでは3次元でのフックの法則を勉強します。もちろん、2次元での問題ならば皆さん暗記されていると思いますが、次元が拡張すると少し厄介です。まず、歪テンソルから次式を求めました。よって、ひずみと変位の関係は
でした。次に、x軸方向の軸ひずみを求めます。
ですね。また、x軸にx軸方向の応力が作用した場合、直応力はフックの法則から
です。ここで、ポアソン比を思い出してください。ポアソン比は次式のように、
で表すことができます。
※フックの法則、ポアソン比については、下記が参考になります。
フックの法則とは？1分でわかる意味、公式、単位、応力、ヤング率の関係
また、ポアソン比の値がマイナスとなっているのは、圧縮方向に変形している（縮んでいる）からですね。よって、y軸方向の軸ひずみは、
となります。x-z平面で考えると、同様に
ですね。よって、軸ひずみを纏めると、
となります。3方向（x,y,z）から、直応力が作用していれば重ね合わせの原理が作用するので、
です。
※重ね合わせの原理は、下記が参考になります。
重ね合わせの原理とは？1分でわかる意味、不静定梁の解き方、たわみ
y,z方向にも同様の式が成立するので、
ですね。さて、以上の式をそれぞれの直応力の形となるまで変形させます。
とりあえず、計算しやすいように変形して、
とします。次に、
の連立方程式を解くと、
です。また、
の連立方程式を解くと、
となります。式変形の方法は個人でやり方がありますが、例えば
の式にそれぞれを代入していくと
であるので、σxの形にすると、
となります。このとき、
をラメ定数と呼びます。さらに、y,zの応力に関しても同様のことが言えるので、整理すると、
です。以上の式関係を、一般化されたフックの法則と呼んでいます。3次元の物体では、外力が作用したとき、ポアソン効果によって、それぞれの軸に応力が働くので以上のような式となりますね。
上式は弾性力学で、かなり基本的なものです。今後、平板の応力－ひずみ関係を求めるときに必要となってきますし、しっかりと復習しておきましょう。
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- 名前 ハナダユキヒロ/MITUME lab代表.
- 2010年 弊サイトを開設
- 2010～2017年 国立大学大学院修了
- 2017年12月に当HPが書籍化。
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- 2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
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