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一般化されたフックの法則と理論式の誘導

さて、弾性力学の基礎も残すところあと少しとなってきました。実は、まだ曲者(エネルギー理論)を後回しにしていますが、とりあえず、ここでは応力と歪の関係について勉強しましょう。このページをご覧になっているということは、既に「応力の平衡方程式」と「ひずみテンソル」はマスターしていると思いますので、そこの説明は省略しますよ。まだやっていないという人は左のリンクを参照して勉強してください。


さて、ここでは3次元でのフックの法則を勉強します。もちろん、2次元での問題ならば皆さん暗記されていると思いますが、次元が拡張すると少し厄介です。まず、歪テンソルから次式を求めました。よって、ひずみと変位の関係は

でした。次に、x軸方向の軸ひずみを求めます。

ですね。また、x軸にx軸方向の応力が作用した場合、直応力はフックの法則から

です。ここで、ポアソン比を思い出してください。ポアソン比は次式のように、

で表すことができます。また、ポアソン比の値がマイナスとなっているのは、圧縮方向に変形している(縮んでいる)からですね。よって、y軸方向の軸ひずみは、

となります。x-z平面で考えると、同様に

ですね。よって、軸ひずみを纏めると、

となります。3方向(x,y,z)から、直応力が作用していれば重ね合わせの原理が作用するので、

です。y,z方向にも同様の式が成立するので、

ですね。さて、以上の式をそれぞれの直応力の形となるまで変形させます。

とりあえず、計算しやすいように変形して、

とします。次に、

の連立方程式を解くと、

です。また、

の連立方程式を解くと、

となります。まあ、式変形の方法は個人でやり方がありますが、例えば

の式にそれぞれを代入していくと

であるので、σxの形にすると、

となります。このとき、

をラメ定数と呼びます。さらに、y,zの応力に関しても同様のことが言えるので、整理すると、

です。以上の式関係を、一般化されたフックの法則と呼んでいます。3次元の物体では、外力が作用したとき、ポアソン効果によって、それぞれの軸に応力が働くので以上のような式となりますね。

上式は弾性力学で、かなり基本的なものです。今後、平板の応力−ひずみ関係を求めるときに必要となってきますし、しっかりと復習しておきましょう。

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