建築学生が学ぶ構造力学

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フックの法則の3次元拡張とは？材料力学からの導出と有限要素法への応用（弾性体の式）

この記事の要点

材料力学のフックの法則はσ=Eεと1次元で教わるが、実際の弾性体では3方向の応力とひずみが連立している。

これを行列式で表したのが3次元フックの法則だ。

導出の流れと、有限要素法への応用を整理する。

ラメ定数λとせん断弾性係数G（=ヤング率E・ポアソン比νから導出）を用いることで、3次元等方線形弾性体の応力-ひずみ関係をテンソル形式σij=λδijεkk+2Gεijとして統一的に表現できる。

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今回は一般化されたフックの法則として、応力と歪の関係について勉強しましょう。今回の記事は、「応力の平衡方程式」と「ひずみテンソル」を理解するとよりスムーズに読めます。

応力の平衡方程式とは？意味・導出と有限要素法・弾性力学への応用（座標軸別の式）

ひずみテンソルとは？3次元ひずみの行列表現と有限要素法への応用

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さて、ここでは3次元でのフックの法則を勉強します。もちろん、2次元での問題ならば皆さん暗記されていると思いますが、次元が拡張すると少し厄介です。まず、歪テンソルから次式を求めました。よって、ひずみと変位の関係は



でした。次に、x軸方向の軸ひずみを求めます。



ですね。また、x軸にx軸方向の応力が作用した場合、直応力はフックの法則から



です。ここで、ポアソン比を思い出してください。ポアソン比は次式のように、



で表すことができます。


※フックの法則、ポアソン比については、下記が参考になります。

フックの法則とは？σ=Eε公式・単位とヤング率・応力の関係

ポアソン比 意味 縦弾性係数 ヤング率 材料特性 鋼 コンクリート


また、ポアソン比の値がマイナスとなっているのは、圧縮方向に変形している（縮んでいる）からですね。よって、y軸方向の軸ひずみは、



となります。x-z平面で考えると、同様に



ですね。よって、軸ひずみを纏めると、



となります。3方向（x,y,z）から、直応力が作用していれば重ね合わせの原理が作用するので、



です。


※重ね合わせの原理は、下記が参考になります。

重ね合わせの原理とは？意味・不静定梁でのたわみ計算と適用条件（線形弾性の前提）

y,z方向にも同様の式が成立するので、



ですね。さて、以上の式をそれぞれの直応力の形となるまで変形させます。



とりあえず、計算しやすいように変形して、



とします。次に、



の連立方程式を解くと、



です。また、



の連立方程式を解くと、



となります。式変形の方法は個人でやり方がありますが、例えば



の式にそれぞれを代入していくと



であるので、σxの形にすると、



となります。このとき、



をラメ定数と呼びます。さらに、y,zの応力に関しても同様のことが言えるので、整理すると、



です。以上の式関係を、一般化されたフックの法則と呼んでいます。3次元の物体では、外力が作用したとき、ポアソン効果によって、それぞれの軸に応力が働くので以上のような式となりますね。


上式は弾性力学で、かなり基本的なものです。今後、平板の応力－ひずみ関係を求めるときに必要となってきますし、しっかりと復習しておきましょう。

混同しやすい用語

ラメ定数（λ）とせん断弾性係数（G）

ラメ定数λ=νE/[(1+ν)(1-2ν)]は3次元等方弾性体の構成則をテンソル形式で表すときに使われる材料定数で、単独では明確な物理的意味を持たない（体積変化と関連）。

せん断弾性係数G=E/[2(1+ν)]は横弾性係数とも呼ばれ、せん断応力τとせん断ひずみγの比（τ=Gγ）として物理的に明確な意味をもち、一般化フックの法則の式にも直接現れる。

1次元フックの法則と3次元（一般化）フックの法則

1次元フックの法則σ=Eεは1方向の引張・圧縮のみを考える最も単純な関係で、ポアソン効果（直交方向のひずみ）を扱わない。

一般化フックの法則は3方向全ての直応力とポアソン効果・せん断応力を同時に考慮した関係式であり、実際の3次元弾性解析・FEMにおけるDマトリクスの理論的基礎となる。

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理解度チェック

Q.

3次元のフックの法則とは何ですか？

答えを見る

材料力学で1次元のσ＝Eεとして教わるフックの法則を3次元に拡張したものです。実際の弾性体では3方向の応力とひずみが連立するため、これを行列式（テンソル）で表したものです。

Q.

3次元の軸ひずみはどのように導きますか？

答えを見る

ある軸方向の応力に対する直応力はフックの法則から求まり、他方向の変形はポアソン比を用いて表します。3方向（x・y・z）から直応力が作用する場合、重ね合わせの原理により各方向の軸ひずみを足し合わせます。

Q.

ラメ定数λとせん断弾性係数Gとは何ですか？

答えを見る

応力をひずみで表す式変形の過程で現れる定数で、いずれもヤング率Eとポアソン比νから導出されます。これらを用いると、3次元等方線形弾性体の応力-ひずみ関係をσij＝λδijεkk＋2Gεijというテンソル形式で統一的に表現できます。

ハナダユキヒロ

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学 わかる構造力学（改訂版）

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