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面積比とは?1分でわかる意味、公式と求め方、問題、三角形と四角形の関係

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面積比(めんせきひ)とは、2つ以上の面積の比率です。2つの図形が相似(拡大・縮小でピタリと一致する)のとき面積比は「辺の長さの2乗の比率に等しい」です。面積比の算定では、各図形は必ずしも相似である必要は無いです。三角形、四角形共に同様の性質を持ちます。今回は面積比の意味、公式と求め方、問題、三角形と四角形との関係について説明します。似た用語に相似比(そうじひ)があります。詳細は下記をご覧ください。

相似比とは?1分でわかる意味、面積比、四角形と三角形の問題

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面積比とは?公式と求め方

面積比(めんせきひ)とは、2つ以上の面積の比率です。下図をみてください。図形Aの面積が5㎡、Bの面積が10㎡です。このとき面積比=5:10=1:2です。

面積比と図形

このままだと単に面積の値を比較しているだけですが、相似な図形の面積比は下記の公式があります。

相似比がm:nのとき、面積比=m^2:n^2

相似比は1:2のように、片方を基準の値(1)として一方の比率を表すことが多いです。よって

相似比が1:nのとき、面積比=1^2:n^2=1:n^2

です。相似な図形のとき、面積比は相似比の2乗と等しくなるのです。相似比の詳細は下記が参考になります。

相似比とは?1分でわかる意味、面積比、四角形と三角形の問題


上式は簡単に証明できます。下図をみてください。2つの四角形があります。図形Aの辺の長さに対して、Bは「n倍」した四角形です。

面積比の証明

各面積の値は下記です。

各面積の値

上記より面積比が相似比の2乗になると分かりましたね。

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面積比の問題と三角形、四角形の関係

「相似ではない」2つの四角形があります。面積比を求めてください。

面積比の問題

高さがhで共通しています。よって面積の値は


Aの面積 a×h=ah

Bの面積 b×h=bh


です。面積比=ah:bh=a:bです。つまり高さの等しい四角形の面積比は「底辺の比率」と等しくなります。これは三角形でも同様です。


下図の問題をみてください。2つの三角形があります。底辺は等しいですが、高さの値が違います。

面積比の問題と三角形

a/2は互いに打ち消し合うので面積比=h1:h2となります。これは底辺が同じで高さが異なるとき、面積比は「高さの比」といえます。

まとめ

今回は面積比について説明しました。意味が理解頂けたと思います。面積比は、2つ以上の面積の比です。単なる面積の比率ですが「相似な図形であるとき」「底辺が等しいとき」に辺の長さと大きく関係する点を理解したいですね。下記も併せて勉強しましょう。

相似比とは?1分でわかる意味、面積比、四角形と三角形の問題

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