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耐震設計の例題

この記事の要点

この記事では、1質点系モデルの固有値解析を例題として解説します。

柱の水平剛性kを求め、固有角振動数ωと固有周期Tを算定する手順を確認できます。

水平剛性や質量を変化させたときの周期の変化（k→k/2, m→2m で T→2T）も確認します。

固有周期の計算練習に活用してください。

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1質点系モデルの固有値解析を実施し、固有周期を確認せよ。

また、水平剛性と質量を1/2倍、2倍と変化させた場合の周期の変化をみよ。

・解答例
まず、柱の剛性を求める
k=12EI/h³=2（柱が2本）×(12×2.06×10³×5.21×10⁵)/(400³)=402kN/cm=4.02×10⁷(N/m)
固有振動数、固有周期をそれぞれ求める

T=2π/w=2π/36.61=0.17(s)
※水平剛性と質量が、1/2倍 , 2倍のとき
k'=k/2
m'=2m

ゆえに元の固有周期Tを2倍すれば、水平剛性と質量が、1/2倍 , 2倍のときの固有周期が求められる。

よって、次のような固有周期となる。

T=0.34(s)

例題2：固有周期の算定と剛性変化の影響

次の条件で1質点系の固有周期を求めなさい。

また、剛性が4倍になったときの固有周期も求めなさい。

条件	値
水平剛性 k	2.0×10? N/m
質量 m	5.0×10? kg

解答：

T = 2π√(m/k) = 2π√(5.0×10? ÷ 2.0×10?) = 2π × 0.0500 ≒ 0.314 s

剛性が4倍（k' = 8.0×10? N/m）のとき：

T' = 2π√(5.0×10? ÷ 8.0×10?) = 2π × 0.0250 ≒ 0.157 s

剛性4倍 → 周期が1/2 に短くなる（T ∝ 1/√k の関係）ことが確認できます。

k・mの変化と固有周期の関係

変化	周期Tの変化	倍率
k → 2k（剛性2倍）	T → T/√2	約0.71倍
k → k/2（剛性1/2）	T → √2・T	約1.41倍
m → 2m（質量2倍）	T → √2・T	約1.41倍
m → m/2（質量1/2）	T → T/√2	約0.71倍

よくある誤解

×誤り：剛性を増やすと周期は長くなる
○正解：T ∝ √(1/k) なので剛性を増やすほど周期は短くなります
×誤り：質量を増やすと安定するので周期は短くなる
○正解：T ∝ √m なので質量を増やすと周期は長くなります

一問一答

Q1：k=1.0×10?N/m、m=1.0×10?kgのとき固有周期Tは？

A1：T = 2π√(10?/10?) = 2π×0.03162 ≒ 0.199 s

Q2：剛性が4倍になると固有周期は何倍になるか？

A2：T ∝ 1/√k より √4=2の逆数なので T → T/2（0.5倍） に短くなります。

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理解度チェック

Q.

1質点系の固有周期の公式は？

答えを見る

T＝2π√(m/k)です（m：質量、k：水平剛性）。

Q.

水平剛性を1/2倍・質量を2倍にすると固有周期はどうなりますか？

答えを見る

元の固有周期Tの2倍になります（例：0.17s→0.34s）。

Q.

剛性が4倍になると固有周期はどうなりますか？

答えを見る

T∝1/√kの関係より、固有周期は1/2に短くなります。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

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プロフィール

略歴▼
名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
「わかる構造力学(改訂版)」

10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。

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