多質点系の時刻歴応答解析

この記事の要点

多質点系の時刻歴応答解析では、各層の質点に対してニュートンの運動方程式を立て、これをマトリクス形式にまとめることで振動方程式[M]{u}+[C]{u?}+[K]{u}=-[M]{1}ug(t)として表現する。

剛床仮定とせん断質点系モデルを用いることで、建物の各階を質点と層間剛性に置き換えた連立方程式として解くことができ、これが多質点系応答解析の基礎となる。

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多質点系の時刻歴応答解析では、モデル化で串団子のような重量を質点に集中させます。通常、建物の床は面内剛性が高いとされているので床の変形は一定とします。

この仮定を剛床仮定と呼びます。さらに、床は他の部材に比べて考えると重量が大きいので、そこに重量が集中していると考え、このようなモデル化をせん断質点系と呼びます。

で、一質点系とは、団子が一つの状態です。団子が二つ以上のものは多質点系と呼んでいます。

多質点系の時刻歴応答解析を考えるとき、その振動方程式の導き方等は1自由度系と変わりありません。

計算過程は単純ですが、手計算で導出できる限界のレベルとして、3質点系のモデルに関して振動方程式を求めてみましょう（i層で考えても良いんですけどね、説明がごちゃごちゃしますので）。

さて、以下に示す図のような3質点系のモデルについて振動方程式を導出してみます。mは質点の重量、kはせん断剛性を表しています。

地震動が作用しているので、地面自体が水平方向に揺れ、ある原点からug(t)の変位が生じます。

1質点系のモデルで振動方程式を求める場合でも串団子の串の部分を切って、各層に作用する力のつり合いを考えましたね。

3質点系のモデルでも同様に考えてみましょう。以下の図のように、組み立てることが出来ますので、連立方程式として示します。

以上の式をマトリクス表示すると、

です。さらに移項等して整理すると、

となります。以上のように、3質点系の振動方程式を求めることができました。
よって、これらの計算から多質点系の振動方程式は

であることがわかります。
さらに、この問題でせん断剛性は全てkとしているので、剛性マトリクスは、

であることも確認できます。この問題は、多質点系の時刻歴応答解析を考える場合、基礎中の基礎なので、空で導出できるようにしましょう。

混同しやすい用語

一質点系と多質点系（せん断質点系）

一質点系は建物全体を1つの質点と1つのばね・ダッシュポットで表す最も単純なモデルで、建物の全体的な振動特性を把握するのに用いる。

多質点系は各階床を独立した質点として扱い、層間剛性をばねで接続するモデルで、高層建物の各階の応答（変位・加速度）を精度よく求めるために使用される。

剛床仮定と質量行列・剛性行列

剛床仮定とは各階の床が面内変形しないとみなすことで、これにより各層の水平変位を1自由度に集約できる。

この仮定のもと振動方程式をマトリクス形式で表すと、質量行列[M]は対角行列、剛性行列[K]は三重対角行列となり、計算が体系的に行えるようになる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では多質点系の振動方程式のマトリクス形式や、剛床仮定・せん断質点系モデルの特徴が問われることがある。

3質点系の剛性マトリクスが三重対角行列になる理由（各層は上下の層にのみ剛性で結合されている）を理解しておくと記述・選択問題の両方で役立つ。

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