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多質点系の時刻歴応答解析

初めに説明したように、モデル化では串団子のような重量を質点に集中させます。通常、建物の床は面内剛性が高いとされているので床の変形は一定とします。この仮定を剛床仮定と呼びます。さらに、床は他の部材に比べて考えると重量が大きいので、そこに重量が集中していると考え、このようなモデル化をせん断質点系と呼びます。で、一質点系とは、団子が一つの状態です。団子が二つ以上のものは多質点系と呼んでいます。

多質点系の時刻歴応答解析を考えるとき、その振動方程式の導き方等は1自由度系と変わりありません。計算過程は単純ですが、手計算で導出できる限界のレベルとして、3質点系のモデルに関して振動方程式を求めてみましょう(i層で考えても良いんですけどね、説明がごちゃごちゃしますので)。

さて、以下に示す図のような3質点系のモデルについて振動方程式を導出してみます。mは質点の重量、kはせん断剛性を表しています。地震動が作用しているので、地面自体が水平方向に揺れ、ある原点からug(t)の変位が生じます。


1質点系のモデルで振動方程式を求める場合でも串団子の串の部分を切って、各層に作用する力のつり合いを考えましたね。3質点系のモデルでも同様に考えてみましょう。以下の図のように、組み立てることが出来ますので、連立方程式として示します。


以上の式をマトリクス表示すると、

です。さらに移項等して整理すると、

となります。以上のように、3質点系の振動方程式を求めることができました。
よって、これらの計算から多質点系の振動方程式は

であることがわかります。
さらに、この問題でせん断剛性は全てkとしているので、剛性マトリクスは、

であることも確認できます。この問題は、多質点系の時刻歴応答解析を考える場合、基礎中の基礎なので、空で導出できるようにしましょう。

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