ステップ外力時の応答解

この記事の要点

ステップ外力とは静止状態から急に加わる一定の外力であり、その応答解は減衰自由振動の一般解と特殊解（x=F/ω2m）を足し合わせた形で表される。

特殊解の導出は応答変位xを定数aと仮定し振動方程式に代入する方法で求まり、強制振動・調和外力の解法と並んで振動方程式の解法の基礎となる。

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ステップ外力をグラフで確認してみましょう。以下の図のように、ステップ外力とは物体が静止している状態から急に加える力のことを言います。

ステップ外力時のモデル

では、ステップ外力が加わったときの減衰自由振動の解を導出してみましょう。

振動している状態で、力のつり合いを考えると、図のようになります。まず、質量×重力加速度が物体の力として作用します。この方向をプラスと定義しています。

また、この力が作用したとき元の状態に戻ろうとするバネの力、復元力が逆方向に発生します。

この図は振動している一瞬を取り出したものと考えてください。つまり、この状態で力＝復元力+減衰力という等式が成り立つはずです。よって、以下の式で表すことができます。

mx''+cx'+kx=f(t)

ここで、mは質点の重量、aは加速度、kはバネ剛性xは変位、cは粘性減衰定数、f(t)=Fとして、これは外力の振動を表しています。

ステップ外力時の振動方程式

a=x''

f(t)=F

mx''+cx'+kx=F

x''+(c/m)x'+(k/m)x=F/m

k/m=w²

c/m=2hwとすれば

x''+2hwx'+w²x=F/m

と変形できます。ここで、wは固有円振動数と言われています。さて、(k/m)=w²、(c/m)=2hw という等式も、ここでは定義としているので深く考えないように進みましょう。

さて、以上のように示した微分方程式の一般解は｢斉次方程式の一般解＋特殊解｣で示されます。

※斉次方程式とは、右辺の値が0である微分方程式です。例えば、自由振動を表す振動方程式はそれに当たります。

さて、ステップ外力が作用した場合の応答解を以下のように仮定します。

ステップ外力は一定の外力なので、応答変位を以下のように仮定します。もちろん時間にも依存せず、aは定数です。

x=a

以下の式で未知数なのはaです。よって、aを求めれば特殊解が求められるわけですね。まず、振動方程式に代入するために、1,2階の微分を行います。

x=a

x'=0

x''=0

ですから、

以上の式を代入すると、

w²a=F/m

a = F/w2mですね。

よって、

x=F/w2m

であり、

この式がステップ外力に対する特殊解です。斉次方程式の一般解は減衰自由振動の解ですから、それを足し合わせたものが、ステップ外力に対する一般解となります。

よって、ステップ外力の一般解は

ステップ外力の一般解

です。

混同しやすい用語

ステップ外力と調和外力（強制外力）

ステップ外力は時間によらず一定の値Fが瞬間的に加わり続ける外力で、特殊解は定数x=F/ω2mとなる。

調和外力（強制振動）はsin波やcos波などの周期的な外力であり、特殊解が周波数比に依存した複雑な形になる。

斉次方程式の一般解と特殊解

斉次方程式の一般解は外力ゼロの場合（自由振動）の微分方程式の解であり、ステップ外力では減衰自由振動の解に相当する。

特殊解は外力の形に対応した振動方程式の1つの解であり、ステップ外力の場合は定数となり、調和外力の場合はsinとcosの線形結合となる。

試験での問われ方｜管理人の一言

建築士試験では振動方程式の解法の考え方として「斉次解＋特殊解」という構造が重要であり、ステップ外力・強制振動の両方に共通する理論的基礎となる。

特殊解の導出過程よりも「外力の種類によって特殊解の形が変わる」という考え方を理解しておくと、様々な振動問題に応用できる。

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