ステップ外力時の応答解

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ステップ外力をグラフで確認してみましょう。以下の図のように、ステップ外力とは物体が静止している状態から急に加える力のことを言います。

ステップ外力時のモデル
では、ステップ外力が加わったときの減衰自由振動の解を導出してみましょう。

振動している状態で、力のつり合いを考えると、図のようになります。まず、質量×重力加速度が物体の力として作用します。この方向をプラスと定義しています。また、この力が作用したとき元の状態に戻ろうとするバネの力、復元力が逆方向に発生します。この図は振動している一瞬を取り出したものと考えてください。つまり、この状態で力＝復元力+減衰力という等式が成り立つはずです。よって、以下の式で表すことができます。

mx''+cx'+kx=f(t)

ここで、mは質点の重量、aは加速度、kはバネ剛性xは変位、cは粘性減衰定数、f(t)=Fとして、これは外力の振動を表しています。
ステップ外力時の振動方程式
a=x''
f(t)=F
mx''+cx'+kx=F
x''+(c/m)x'+(k/m)x=F/m
k/m=w²
c/m=2hwとすれば
x''+2hwx'+w²x=F/m

と変形できます。ここで、wは固有円振動数と言われています。さて、(k/m)=w²、(c/m)=2hw という等式も、ここでは定義としているので深く考えないように進みましょう。さて、以上のように示した微分方程式の一般解は｢斉次方程式の一般解＋特殊解｣で示されます。

※斉次方程式とは、右辺の値が0である微分方程式です。例えば、自由振動を表す振動方程式はそれに当たります。

さて、ステップ外力が作用した場合の応答解を以下のように仮定します。ステップ外力は一定の外力なので、応答変位を以下のように仮定します。もちろん時間にも依存せず、aは定数です。
x=a

以下の式で未知数なのはaです。よって、aを求めれば特殊解が求められるわけですね。まず、振動方程式に代入するために、1,2階の微分を行います。
x=a
x'=0
x''=0
ですから、
以上の式を代入すると、
w²a=F/m
a = F/w2mですね。
よって、
x=F/w2m
であり、
この式がステップ外力に対する特殊解です。斉次方程式の一般解は減衰自由振動の解ですから、それを足し合わせたものが、ステップ外力に対する一般解となります。
よって、ステップ外力の一般解は

です。