演習問題-梅村スペクトル-

この記事の要点

梅村スペクトルとは日本の地震動特性に基づいた応答スペクトルで、固有周期T≦0.5(s)のとき応答変位SD=90T2KG（KGは地盤係数）で表され、水平剛性kを1/2・質量mを2倍にすると固有周期T=2π√(m/k)は2倍になり、SDは4倍になる。

1質点系の固有値解析でT=2π/ω（ω=√(k/m)）を求めた後、梅村スペクトルのSDの式に代入することで、剛性・質量の変化に伴う応答変位の変化を定量的に評価できる。

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1質点系モデルの固有値解析を実施し、固有周期を確認せよ。

また、水平剛性と質量を1/2倍、2倍と変化させた場合の周期の変化をみよ。

ただし、梅村スペクトルを用いた場合を示せ。

例題のモデル

・解答例
前問の結果より固有周期は次の値が分かっている。

T=2π/w=2π/36.61=0.17(s)
T<="0.5(s)を用いた応答変位に関する梅村スペクトルの式は
S_D=90T²K_G

である。

この式は水平剛性と質量を考慮すると次の式で与えられる。

水平剛性と質量を考慮した式
さて、水平剛性と質量が1/2倍 , 2倍のときに上述に示した式は
水平剛性と質量を考慮した式２
となる。

よって、

S'_D/S_D=4

であることから、求める応答変位は4倍されることが分かる。

ここで、SDとkGの値を与えて水平剛性と質量が変化したときのTを求めてみよう。

kG=0.2とすれば応答変位は

S_D=90×0.2²×0.2=0.52(cm)

4S_D2.08(cm)=90×T²×0.2

T=0.339≒0.34(s)
となる。

以上のように梅村スペクトルによる応答変位の関係を用いて固有周期を求めた。

混同しやすい用語

梅村スペクトル（設計用応答スペクトル）と固有値解析

梅村スペクトルはSD=90T2KGなどの式で地震時の最大応答変位を固有周期Tの関数として直接求める設計用ツールであり、時刻歴解析を行わずに応答推定ができる。

固有値解析はω=√(k/m)からT=2π/ωを求める手続きであり、梅村スペクトルへの入力値となる固有周期Tを算出するために先に行う必要がある。

水平剛性kと固有周期T・応答変位SDの関係

固有周期T=2π√(m/k)であるため、kを小さく（m/kを大きく）するとTは長くなり、SDはT2に比例して大きくなる。

質量mを大きくした場合も同様にTが長くなりSDが増大するが、SDの式にはm自体が現れないため、TとkG・SD値の整合を確認する計算手順が重要になる。

梅村スペクトルによる最大応答変位（T≒1.0〜2.0秒の場合）：

SD ∝ T（固有周期に比例）→ T=1.257秒のとき SD ≒ T×(最大速度スペクトル)/(2π)

例：最大速度スペクトル Sv=50cm/s（= 0.5m/s）の場合：SD = T×Sv/(2π) = 1.257×0.5/(2π) ≒ 0.100m = 10cm

×誤り「剛性を大きくすると応答変位も大きくなる」→ ○正解剛性kを大きくすると固有周期Tが短くなり、速度スペクトル支配域では応答変位SDも小さくなる
×誤り「梅村スペクトルは加速度スペクトルと同じ」→ ○正解梅村スペクトルは速度スペクトル（Sv一定）に基づく。SA=ω×Sv（加速度）、SD=Sv/ω（変位）と変換できる
×誤り「固有周期Tは質量だけで決まる」→ ○正解 T=2π√(m/k)より、TはmとkのAの関数。同じ質量でも剛性が異なればTは変わる