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非減衰自由振動の解とは｜運動方程式の解法と固有振動数・周期の求め方を解説

この記事の要点

建物の地震応答を理解するために、まず最も単純な「外力なし・減衰なし」の振動から出発するのが構造力学の定石だ。

この解の形を理解しておくと、減衰付き・強制振動付きへの拡張が見通しやすくなる。

この記事では非減衰自由振動の運動方程式の解法・固有振動数・固有周期の導出を解説する。

固有円振動数ω＝√(k/m)の定義とオイラーの公式を使った解法の流れを押さえておきましょう。

減衰自由振動の解と対比することで理解が深まります。

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初めにもっとも単純な運動方程式である非減衰自由振動の解を導出してみましょう。

通常の建物には減衰という地震応答を低減させる復元力が発生しますが、これを無視して考えてみます。

自由振動であれば外力は0です。この状態での振動は、例えば、物理で習った振り子の問題で、

自分では手を加えずにある位置から玉を押さえておいて離したときに発生する振動と同様のものです。

振動している状態で、力のつり合いを考えると、図のようになりあます。まず、質量×重力加速度が物体の力として作用します。

この方向をプラスと定義しています。また、この力が作用したとき元の状態に戻ろうとするバネの力、復元力が逆方向に発生します。

この図は振動している一瞬を取り出したものと考えてください。つまり、この状態で力＝復元力という等式が成り立つはずです。

よって、以下の式で表すことができます。

ma=－kx

ma+kx=0

ここで、mは質点の重量、aは加速度、kはバネ剛性xは変位を表しています。また、加速度は変位の二階微分と同様なので

非減衰自由振動のモデル

a=x''

mx''+kx=0

x''+(k/m)x=0

k/m=w²

x''+w²x=0

と変形できる。ここで、wは固有円振動数と言われています。なぜ、 (k/m)=w²としているかといえば計算しやすくするためですね。

さて、以上のように示した運動方程式は微分方程式であり非減衰自由振動解はこの方程式を解くことで得られます。数学的な手法からこのような問題を解く場合、

x=Ae^λt

と考えます。この式はあくまでも物体が自由振動を起こしたときの応答を仮定したものです。

また、運動方程式のような動的な問題は時間に依存するために、tの時間関数であることに注意してください。

Aは適当に仮定した定数で、λは未知数です。

x=Ae^λt

x'=Aλe^λt

x''=Aλ²e^λt

x''+w²x=0

Aλ²e^λt+w²Ae^λt=0

Ae^λt(λ²+w²)=0

よって、以上の式が満たすようなλを求めればいいことになります。 Ae^λtがゼロになるときはλの値が∞になる場合です。

このとき、変位xも無限となることから値は発散し解にはなりえません。よって、

(λ²+w²)=0

λ²=w²

λ=±w

x=Ae^wit+Be^-wit

となります。±の値が表れたのでこれを重ね合わせた上記に示す式となります。さらに、オイラーの公式を用いて三角関数を用いた形で表してみましょう。

※オイラーの公式とは、e^iθがcosθとsinθの式で表すことができることをテイラ―展開で証明した等式です。

e±^iθ=cosθ±isinθ

x=Ae^iwt+Be^-wit

=A(coswt+isinwt)+B(coswt-isinwt)

=Acoswt+Bcoswt+Aisinwt-Bisinwt

=(A+B)coswt+i(A-B)sinwt

※A₁=(A+B),A₂=(A-B)

=A₁coswt+iA₂sinwt

以上のように、非減衰自由振動の解を求めることが出来ました。理解できないところを集中的に勉強しましょうね。

また、掲示板にも質問を受け付けています。

気軽に書き込みしてください。

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理解度チェック

非減衰自由振動の運動方程式は？

答えを見る

ma＝－kxよりma＋kx＝0です。加速度a＝x''なのでmx''＋kx＝0、変形してx''＋(k/m)x＝0となります（m：質量、k：バネ剛性）。

k/mは何と定義されますか？

答えを見る

k/m＝ω²（ωは固有円振動数）と定義します。これによりx''＋ω²x＝0となります。

この微分方程式の解はどんな形になりますか？

答えを見る

x＝Ae^λtと仮定すると特性方程式λ²＋ω²＝0よりλ＝±iωとなり、オイラーの公式（e^±iθ＝cosθ±isinθ）を用いて三角関数の形で表せます。

この記事を書いた人

ハナダユキヒロミツメラボ

設計事務所に7年勤務。2010年より「建築学生が学ぶ構造力学」を運営（16年以上）。著書「わかる構造力学」「わかる構造力学（改訂版）」（工学社）。

わかる構造力学わかる構造力学（改訂版）

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プロフィール

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名前　ハナダユキヒロ/ミツメラボ代表.
2010年　弊サイトを開設
2010～2017年　国立大学大学院修了
2017年12月に当HPが書籍化。
「わかる構造力学」
2022年4月に「わかる構造力学」の改訂版出版。
「わかる構造力学(改訂版)」

10数年以上、建築の学問、研究、構造設計の実務に携わった経験を元に、未経験の方、建築関係の学生、社会人の方に役立つ知識を、分かりやすくお伝えします。

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